On the Expected Size of the 2D Visibility Complex

We study the expected size of the 2D visibility complex of randomly distributed objects in the plane. We prove that the expected asymptotic number of free bitangents (which correspond to the 0-faces of the visibility complex) among unit discs or polygons of bounded aspect ratio is linear and exhibit bounds in terms of the density of the objects. We also make an experimental assessment of the size of the visibility complex for disjoint random unit discs. We provide experimental estimates of the onset of the linear behavior and of the asymptotic slope and y-intercept of the number of free bitangents in terms of the density of discs. Finally, we analyze the quality of our estimates in terms of the density of discs. Key-words: computational geometry, visibility complex. ∗ LORIA (CNRS, INRIA Lorraine, Université Nancy 2), Nancy, France. [email protected]. † McGill University, Montréal, Canada. [email protected]. Sur la taille moyenne du complexe de visibilité en deux dimensions Résumé : Nous étudions l’espérance de la taille du complexe de visibilité 2D d’objets distribués aléatoirement dans le plan. Nous montrons que le nombre moyen de bitangentes libres (qui correspondent aux 0-faces du complexe de visibilité) d’un ensemble de disques unités ou de polygones de rapport d’aspect borné est asymptotiquement linéaire et nous donnons des bornes théoriques en fonction de la densité des objets. Nous proposons également une évaluation expérimentale de la taille du complexe de visibilité de disques unités aléatoires disjoints. Nous donnons des estimations expérimentales de la valeur à partir de laquelle commence le régime linéaire, et de la pente et de l’ordonnée à l’origine de l’asymptote du nombre de bitangentes libres, en fonction de la densité. Enfin, nous analysons la qualité de nos estimations. Mots-clés : géométrie algorithmique, complexe de visibilité. On the Expected Size of the 2D Visibility Complex 3